Interpolazio metodoak Python-en

Zer ikasiko duzun

Orri hau Python-en datu puntuak interpolatzen ulertu nahi duen edonorentzat dago idatzia, ez bakarrik formula bat kopiatzeko.

Chebyshev nodoak vs nodo ekiespaziatuak

Nodoen kokapenak interpolazio formulak adina garrantzia izan dezake. Gradu altuko interpolazio polinomikoan, berdin banatutako puntuek tarte ertzetan oszilazio handiak sor ditzakete. Chebyshev nodoak muturretan biltzen dira eta jokabide hori murriztu ohi dute.

x_nodes = np.linspace(-1, 1, n)

k = np.arange(1, n + 1)
x_nodes = np.cos((2*k - 1) * np.pi / (2*n))

Newton interpolazioa Python-en

Newton interpolazioak polinomioa idazten du diferentzia banatuen taulako koefizienteak erabiliz. Erabilgarria da, datu puntu berri bat gehitzeak ez baitu polinomio osoa berreraikitzea eskatzen.

import numpy as np
from polynomial_interpolation import (
    evaluate_newton_polynomial,
    newton_coefficients,
)

x_nodes = np.array([-1.0, -0.5, 0.0, 0.5, 1.0])
y_nodes = 1 / (1 + 25 * x_nodes**2)

coefficients = newton_coefficients(x_nodes, y_nodes)
value = evaluate_newton_polynomial(coefficients, x_nodes, 0.25)

print(float(value))

Lagrange interpolazioa Python-en

Nodo berdinak erabiltzean, Lagrange interpolazioak Newton-ek bezalako polinomio bera eraikitzen du. Formula zuzena eta erraz irakurtzekoa denez, ohikoa da metodo numerikoen ikastaroetan.

import numpy as np
from scipy.interpolate import lagrange

x_nodes = np.array([-1.0, -0.5, 0.0, 0.5, 1.0])
y_nodes = 1 / (1 + 25 * x_nodes**2)

polynomial = lagrange(x_nodes, y_nodes)
print(polynomial(0.25))

Python inplementazioaren barnean

Biltegiak Newton metodoa NumPy funtzio txiki eta irakurterrazetan gordetzen du. Hauek dira funtsezko zatiak, zuzenean polynomial_interpolation.py-tik hartuta.

Diferentzia banatuen taula eraikitzen

Taula y balioekin hasten da lehen zutabean. Hurrengo zutabe bakoitzak aurreko zutabearen diferentzia zatitzen du dagozkien x-nodoen arteko distantziaz. Newton-en koefizienteak amaitutako taularen lehen errenkada dira.

def divided_difference_table(x, y):
    n = len(x)
    table = np.zeros((n, n))
    table[:, 0] = y

    for order in range(1, n):
        for row in range(n - order):
            numerator = table[row + 1, order - 1] - table[row, order - 1]
            denominator = x[row + order] - x[row]
            table[row, order] = numerator / denominator

    return table

# Newton-en koefizienteak taularen lehen errenkada dira:
coefficients = divided_difference_table(x, y)[0, :]

Biderketa habiaratuarekin ebaluatzen (Horner-en eskema)

Polinomioa zabaldu beharrean, ebaluatzaileak koefizienteak atzerantz zeharkatzen ditu eta bidean biderkatzen du. Numerikoki egonkorra da, puntu bakar batean edo NumPy array oso batean funtzionatzen du, eta kostua nodo kopuruan lineala mantentzen du.

def evaluate_newton_polynomial(coefficients, x_nodes, x_eval):
    result = np.full_like(x_eval, coefficients[-1], dtype=float)

    for i in range(len(coefficients) - 2, -1, -1):
        result = result * (x_eval - x_nodes[i]) + coefficients[i]

    return result

Lau metodo nodo berdinekin konparatzen

Esperimentuak biltegi honetako Newton-en polinomioa eta SciPy-ren Lagrange, barizentriko eta spline kubiko interpolatzaileak eraikitzen ditu, eta gero errore maximoa eta L2 errorea neurtzen ditu benetako funtzioaren aurka sareta dentso batean.

from scipy.interpolate import (
    BarycentricInterpolator,
    InterpolatedUnivariateSpline,
    lagrange,
)

# Newton (biltegi honetan inplementatua)
coefficients = newton_coefficients(x_nodes, y_nodes)
y_newton = evaluate_newton_polynomial(coefficients, x_nodes, x_grid)

# Lagrange, barizentrikoa eta spline kubikoa (SciPy)
y_lagrange = lagrange(x_nodes, y_nodes)(x_grid)
y_bary = BarycentricInterpolator(x_nodes, y_nodes)(x_grid)
y_spline = InterpolatedUnivariateSpline(x_nodes, y_nodes, k=3)(x_grid)

# Errorea benetako funtzioaren aurka sareta dentso batean
max_error = np.max(np.abs(y_newton - y_true))
l2_error = np.sqrt(np.trapezoid((y_newton - y_true)**2, x_grid))

Interpolazio demo interaktiboa

Aldatu funtzioa, nodoak eta ebaluazio puntua. Grafikak erakusten du zergatik ematen duten Newton-ek eta Lagrange-k polinomio bera nodo berdinekin, eta zergatik murrizten duten Chebyshev nodoek oszilazioa.

Nola exekutatu biltegia

Fitxategi nagusiak esperimentu osoa berregiten du: Newton, Lagrange, metodo barizentrikoa eta spline kubikoa.

python -m venv .venv
source .venv/bin/activate
pip install -r requirements.txt
python polynomial_interpolation.py